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有限元分析是一种广泛应用的数值方法，用于求解各种工程和科学问题中的微分方程。在有限元分析中，网格的划分是一个关键步骤，因为它直接影响到计算结果的精度和计算效率。那么，是否网格画得越细，分析结果就越精确呢？
我们要明确一点，网格的细化确实可以在一定程度上提高分析的精度。当网格足够细时，它能够更好地捕捉到问题域中的细节和变化，从而得到更准确的解。
这是因为在有限元分析中，我们实际上是将连续的问题域离散化，用一系列的单元来近似表示。如果网格太粗，那么这些单元可能无法准确地描述问题域中的复杂变化，从而导致计算结果的误差。
然而，网格的细化并不是无限制的。
当网格细化到一定程度后，继续增加网格数量可能不会显著提高分析的精度，甚至可能导致计算效率的降低。这是因为有限元分析中的误差来源不仅仅是网格的离散化，还包括其他因素，如舍入误差、迭代误差等。此外，当网格数量过多时，计算量会显著增加，导致计算时间变长，甚至可能超出计算机的内存限制。
很多时候，提高单元数量对于计算精度的提高，远远比不过选用更好更合理的单元类型。对于不同的求算对象，所需要的单元数量也不相同。一般来说，求算应力需要比求算位移更多的单元，而求算剪应力需要比正应力更多的单元。
举一个常见小例子，平面应力问题，计算一根悬臂梁的变形和应力：
悬臂梁的宽度为 1，弹性模量 30000，泊松比 0.3，自由端承受竖向荷载 100。求解 A 点的竖向位移、B 点的正应力、C 点的剪应力。
分别选用不同类型的四种单元计算，包括三节点三角形 CSTG、六节点三角形 LST、四节点四边形 IPLQ、八节点四边形 IPQQ。
首先计算位移和应力的理论解：
A 点的竖向位移为 0.895，B 点的正应力为 90，C 点的剪应力为 7.5。
然后分别用不同数量的四种单元进行比较计算，所用软件为 GT STRUDL，单元名称按照 GT STRUDL 的命名，计算结果是这样的：
随着单元数量的增多，位移、正应力和剪应力结果都趋近于理论解。
对于不同的单元类型，趋近理论解的速度完全不同。同样是 32 个单元，CSTG 的位移结果是 0.5072，正应力是 33.11，与真实解 0.895 和 90 相差甚远。而 32 个单元的 LST 结果为 0.8978 和 88.68，已经很接近于理论解 0.895 和 90。
同样是 64 个单元，IPLQ 的结果为 0.8715 、89.52，而 IPQQ 的结果则达到了 0.8999、90.01，可以说正应力结果已经非常非常接近理论解。
如果比较一下四边形单元的结果和三角形单元的结果，差异更加明显。对于位移结果来说，2000 个 CSTG 单元的精度也比不上 4 个 IPQQ 单元的精度。
如果横坐标为单元数量，纵坐标为计算结果，绘制一张收敛图像的话，对于位移来说是这样的：
对于这四种单元类型，要想达到类似的可以接受的精度水平，需要的单元数量完全不同。
根据上面的分析，想要得到精度可以接受的计算结果，CSTG 需要 2000 多个单元，而 IPQQ 仅需要 64 个。
那么结论就是，提高单元数量的确会提高计算精度，但前提是单元类型合理高效。对于提高精度来说，更合理的方法是选用更好的单元，而不是盲目的提高单元数量。
除了网格的划分外，还有其他一些因素也会影响有限元分析的精度。例如，所选用的有限元模型、边界条件的处理方式、材料参数的准确性等都会对计算结果产生影响。因此，在进行有限元分析时，需要综合考虑这些因素，以确保得到准确可靠的结果。
所以在选择有限元分析公司的时候，也需要注意甄别，找有经验、有技术背景的公司，才能在有限元分析结果上更精准，以避免时间的浪费及其他问题的发生。
_PS：_Abaqus 的官方帮助文档里同样举了类似的例子，比较了同样的悬臂梁不同单元、不同网格下的梁端位移的计算结果，结论也是类似的。
Abaqus 的结果如下：
不同单元在四种网格尺寸（1×6、2×12、4×12、8×24）下的计算结果与理论解的比值：
CPS4：021 xxz.074，0.242，0.242，0.561
CPS8：0.994，1.000，1.000，1.000
CPS4R：20，1.308，1.051，1.012
CPS8R：1.000，1.000，1.000，1.000